已知m，n为正整数且m>2,证2^m-1不能整除2^n+1

反设2^m-1|2^n+1
那么更有2^m-1|2^(2n)-1
所以必有m|2n(因为如果作带余除法2n=mk+r，那么由2^m-1|2^r(2^mk-1)+2^r-1知道必有2^m-1|2^r-1。如果0<r<m这就不可能成立了)
如果m是奇数，那么m|2n说明m|n。所以2^m-1|2^n-1。与2^m-1|2^n+1矛盾
如果m是偶数，那么m/2|n。所以2^(m/2)-1|2^n-1。但是又有2^(m/2)-1|2^n+1.也矛盾
所以反设不能成立，命题得证

这题只值5分吗。。。。。。。。

证明

首先，n<=m时，显而易见，不再证明。

其次,n>m时，设n=km+p,其中k,p均为正整数，且0=<p<m
用反证法
假设2^m-1能整除2^n+1，
再由于2^m-1能整除2^(n-m)[2^m-1]=2^n-2^(n-m)，
则2^m-1能整除2^n+1与2^n-2^(n-m)的差，
即2^m-1能整除2^(n-m)+1
即2^m-1能整除2^[(k-1)m+p]+1

则可以想象，继续按此方法进行
最后得到
2^m-1能整除2^p+1
而由假设，p<m
显然矛盾

故假设错误，即2^m-1不能整除2^n+1

证毕

希望对你有帮助。

必有2^n+1>2^m-1 又m>2 则n>m
n-m=a
2^n+1=2^m+2^a+1+2^a-2^a
原式=2^a+(1+2^a)/(2^m-1) m-a=x……
……
不断进行下去，必有(1+2^x)<(2^m-1) =>是小数
而前面的2^a+……+……+……都是整数，故结果为小数 => 不整除
证毕